En la práctica de las ciencias actuariales, matemáticas y de la ingeniería, suelen presentarse problemas asociados al cálculo integral, concebidos desde su carácter teórico como antiderivada F de una función f:
...(1)
hasta su aplicación a problemas prácticos que pueden conceptualizarse desde una perspectiva geométrica, tal como el área bajo la curva:
... (2)
Independientemente de su concepción, es común encontrar funciones que por su estructura, es imposible de integrar analíticamente, como es el caso siguiente:
...(3)
En este caso, debe recurrirse a alguna de las técnicas de integración numérica, tales como las fórmulas de Newton-Cotes en sus variantes como la regla del trapecio o la regla de Simpson, abordadas en la presente unidad.
Estas fórmulas siguen la estrategia de que, dada una función f(x) difícil o imposible de integrar analíticamente, ésta es sustituida por su representación aproximada en forma polinomial fn(x), la cual como es bien conocido, se integra en forma inmediata. Esto se expresa de la siguiente manera:
...(4)
tal que
...(5)
es un polinomio de grado n. Por ejemplo, dada una función f(x), ésta puede ser representada de forma aproximada por un polinomio de grado uno f1(x) y un polinomio de grado dos f2(x), tal como muestran las siguientes figuras:
|
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| Aproximación con f1(x) | Aproximación con f2(x) |
como puede observarse, a mayor grado del polinomio, mayor ajuste en la aproximación a f(x)
La regla del trapecio consiste en representar de forma aproximada a una función f(x) mediante un polinomio de grado uno f1(x), de tal manera que el proceso de integración aproximada de f(x), viene dado por:
...(6)
El polinomio de grado uno corresponde por supuesto a una recta, tal que los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) generan un trapecio:
En consecuencia, el área del trapecio es una aproximación a la integral de f(x). Empleando triángulos semejantes, se tiene que:
...(7)
Entonces, para hallar el área, se integra (7):
...(8)
Antes de la integración, la ecuación (7) puede expresarse como:
...(9)
Agrupando los últimos dos términos:
...(10)
o bien:
...(11)
ahora, integrando para x = a y x = b
...(12)
...(13)
dado que b2 – a2 = (b – a )(b + a)
...(14)
obteniendo finalmente la fórmula del trapecio:
...(15)
Puesto que se utiliza el área de un trapecio para aproximar el valor de una integral definida, es claro que el proceso estará asociado a un error que, dependiendo el tipo de función con la que se trabaja, puede ser de una magnitud notable, con las respectivas consecuencias técnicas que esto conlleva para el actuario, el matemático o el ingeniero. La siguiente sección propone una alternativa para sortear esta dificultad.
Ejemplo
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